La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz .

Ecuación analítica de la parábola : Supongamos que el foco esté situado en el punto (0,c) y la directriz es la recta y = -c (por lo tanto el vértice está en su punto medio (0,0) ) , si tomamos un punto cualquiera P(x , y) de la parábola y un punto Q(x , -c) de la recta debe de cumplirse que :

PF = PQ

elevando al cuadrado :

x2 = 4cy

si la parábola no tiene su vértice en (0,0) si no en (p,q) entonces la ecuación sería :

(x-p)2 = 4c(y-q)

desarrollando la ecuación tendremos :

x2 + p2 - 2xp - 4cy + 4cq = 0

si hacemos D = -2p , E = -4c , F = p2 + 4cq obtendremos que es :

x2 + Dx + Ey + F = 0

en la que podemos observar que falta el término de y2

Nota : como habrás observado el término xy no aparece nunca , esto es porque hemos supuesto que los ejes de simetría de las cónicas son paralelos a los ejes coordenados , en caso contrario aparecería este término , que como es lógico dependerá del ángulo de inclinación de los ejes .