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Hipérbola


Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos puntos fijos es constante . Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola .


Ecuación analítica de la hipérbola : Supongamos para simplificar que los focos están situados en los puntos F(c,0) y F'(-c,0) , tomemos un punto cualquiera P(x , y) de la elipse y supongamos que la diferencia de las distancias entre PF y PF' es igual a 2a , entonces tendremos que :


PF - PF' = 2ª

elevando al cuadrado y uniendo términos semejantes obtenemos que :

(c2-a2)·x2 - a2y2 - (c2-a2)·a2 = 0

a partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que c2 = a2 + b2 y por lo tanto la ecuación se puede quedar :

b2x2 - a2y2 = a2b2



dividiendo entre a2b2 obtenemos que :


Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p,q) la ecuación debería de ser :

Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que :

b2x2 - a2y2 - 2xpb2 + 2yqa2 + p2b2 - q2a2 - a2b2 = 0

Si hacemos A = b2 , B = -a2 , D = -2pb2 , E = 2qa2 , F = p2b2 - q2a2 - a2b2 tendremos la ecuación :

Ax2 - By2 + Dx + Ey + F = 0

donde podemos comprobar que es igual que la de la elipse excepto que los términos A y B no son del mismo signo.


Aplicación:

  • Algunos cometas tienen órbitas hiperbólicas

  • La ley de Boyle es una relación hiperbólica, ya que se establece entre dos relaciones que son inversamente proporcionales entre sí.




Bibliografía

Internet

http://html.rincondelvago.com


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