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Elipse


La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante . Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse .

Ecuación analítica de la elipse : Supongamos para simplificar que los focos están situados en los puntos F(c,0) y F'(-c,0) , tomemos un punto cualquiera P(x , y) de la elipse y supongamos que la suma de las distancias entre PF y PF' es igual a 2a , entonces tendremos que :

PF + PF' = 2a

elevando al cuadrado y uniendo términos semejantes obtenemos que :

(a2-c2)·x2 + a2y2 - (a2-c2)·a2 = 0

a partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que a2 = b2 + c2 ( piensa que cuando el punto P es (0,b) la hipotenusa debe medir a y el otro cateto c ) y por lo tanto la ecuación se puede quedar :

b2x2 + a2y2 = a2b2




dividiendo entre a2b2 obtenemos que :

Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p,q) la ecuación debería de ser :

Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que :

b2x2 + a2y2 - 2xpb2 - 2yqa2 + p2b2 + q2a2 - a2b2 = 0

Si hacemos A = b2 , B = a2 , D = -2pb2 , E = -2qa2 , F = p2b2 + q2a2 - a2b2 tendremos la ecuación :

Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0

donde podemos comprobar que es igual que la de la circunferencia excepto que los términos A y B no tienen porqué ser iguales .

Aplicación:

  • Las órbitas de planetas como la Tierra son elípticas donde un foco corresponde al Sol. También le corresponde esta figura a los cometas y satélites. Además se cree que este razonamiento se aplica también a las órbitas de los átomos.

  • Debido a la resistencia del viento, las trayectorias que realizan los aviones cuando hacen viajes circulares se vuelven elípticas.

  • En arquitectura se utilizan con mayor frecuencia arcos con forma elíptica.



Bibliografía

Internet

http://html.rincondelvago.com





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